As 12 bolas de ténis

Desafio:

Temos 12 bolas de ténis aparentemente iguais, sendo que uma delas tem um peso ligeiramente diferente. Dispomos de uma balança de dois pratos que podemos utilizar apenas três vezes. Como conseguir identificar a bola "defeituosa" e determinar se é mais leve ou pesada que as restantes?

Solução:

1. Dividir as bolas de ténis inicialmente em três grupos [(a,b,c,d), (e,f,g,h), (i,j,k,l)] e pesar dois destes [(a,b,c,d) e (e,f,g,h), por exemplo).

Equilíbrio em 1:

1.1 A bola diferente está no outro grupo (i,j,k,l); então, pesam-se três bolas de ténis do primeiro grupo (a,b,c) com três do terceiro (i,j,k).

1.1.1 Se houver equilíbrio em 1.1, a bola diferente é a l, então, é só pesá-la com qualquer outra e descobrir se é mais leve ou mais pesada que as demais.

1.1.2 Se houver desequilíbrio em 1.1 e a balança pender para o grupo (i,j,k), então existe uma bola mais pesada neste grupo; então, pesa-se i com j e, se houver equilíbrio, a mais pesada é a k, senão será a que a balança cujo lado pendeu. Mas, se a balança pender para o grupo (a,b,c) em 1.1, então existe uma bola mais leve em (i,j,k); então pesa-se i com j e, se houver equilíbrio, a mais leve é o k, senão será a que a balança cujo lado não pendeu.

Desequilíbrio em 1:

1.2 O grupo (i,j,k,l) só tem bolas de ténis iguais, logo verifica-se para qual grupo [(a,b,c,d) ou (e,f,g,h)] a balança pendeu, significando que há uma bola mais pesada neste ou mais leve no outro. Então, pesa-se (a,b,e,f) com (g,i,j,k).

1.2.1 Se houver equilíbrio em 1.2, a bola diferente será c, d ou h; então, pesa-se (c,h) com (i,j). Se houver equilíbrio, a bola d é mais pesada que as outras; se a balança pender para (c,h), a bola c é mais pesada que as outras; se a balança pender para (i,j), a bola h é mais leve que as outras.

1.2.2. Se a balança pender para (g,i,j,k) em 1.2, então e ou f será uma bola mais leve. Pesa-se e com i; se houver equilíbrio, f é mais leve que as outras; senão, e será mais leve que as outras.

1.2.3. Se a balança pender para (a,b,e,f) em 1.2, então g será uma bola mais leve ou a ou b será uma bola mais pesada. Pesa-se (a, g) com (i, j); se houver equilíbrio, a bola b será mais pesada que as outras; se a balança pender para (a, g), a bola a será mais pesada que as outras; se a balança pender para (i, j), a bola g será mais leve que as outras.